Frage zur Spieltheorie

[Lude]

Hi,

es gibt diese Fragestellung aus der Spieltheorie:
1.) Sie sind in einer Quizsendung "bei Wim" und wollen etwas gewinnen
2.) Sie haben die Auswahl zwischen drei Toren
3.) Hinter exakt einem Tor verbirgt sich "Ihr Gewinn"
4.) Nachdem Sie sich fuer Tor x ('1', '2' oder '3') entschieden haben, passiert etwas Merkwuerdiges: siehe 5
5.) Wim oeffnet ein leeres Tor (also z.B., wenn Sie sich fuer Tor '1' entschieden haben, oeffnet er Tor '2', wobei Sie sehen, dass sich hinter Tor '2' kein Gewinn verbarg) (Erlaeuterung: Da sich
hinter den drei Toren exakt ein Gewinn verbirgt, kann Wim immer nachdem Sie sich entschieden haben ein leeres Tor oeffnen.)
6.) Wim bietet Ihnen an zu wechseln, also wenn Sie sich fuer Tor '1' entschieden haben, oeffnet Wim beispielsweise Tor '2', welches leer war, und bietet Ihnen an zu Tor '3' zu wechseln.

Wie entscheiden Sie sich? - Wechseln Sie?

(Es gibt hier eine bestimmte, soz. offizielle Loesung, die mir nicht richtig erscheint. Deshalb stelle ich dieses "Problem" zur Diskussion.)

Gruss,
Lude

[Henning]

Hallo,

soweit ich weiß ist es günstiger zu wechseln. Da am Anfang nur eine Chance von 33% bestand, aber nun 50%. Aber wenn es so einfach wäre, wäre es ja kein Glücksspiel.

Gruß,
Henning

[Utz]

Hallo,

so von der Theorie her:

Wäre hinter Tor 1 kein Gewinn gewesen, hätte "Wim" das ja gleich öffnen können und ich wäre aus dem Spiel gewesen. Also bleibe ich bei Tor 1.

Bloß: Die Fernsehshow funktioniert ja nicht so, dass "Wim" darauf achtet, möglichst wenig Gewinne herausgeben zu müssen, deshalb wäre in der Praxis meine Überlegung hinfällig.

Grüße,

Utz

[Der Hans]

Moin!

Man sollte wechseln:
Das ganze ist mathematisch etwas schwammig, weil die Geschichte schwer zu erzählen ist.
Prinzipiell funktioniert das ganze nur, wenn der Moderator "wissend" ist.
Weiterhin muss der Moderator unabhängig von der Wahl des Kandidaten bereits den Plan
haben, ein leeres Tor zu öffnen und dem Kandidaten eine zweite Chance zu geben.
DANN
ist es sinnvoller zu wechseln, weil der Moderator in seiner Auswahl, ein leeres Tor
zu öffnen, beschränkt ist ... anhängig von der Wahl des Kandidaten.
Liegt der Kandidat richtig, kann der Moderator eines der falschen Tore frei öffnen.
Liegt der Kandidat aber richtig, kann der Moderator _ausschließlich_ das eine verbleibende
leere Tor öffnen (dass er das "Preis"-Tor öffnet ist schlicht spieltechnisch unsinnig).

Aus dieser Beschränktheit der Moderatorenmöglichkeiten ergibt sich eine bessere Chance,
wenn man als Kandidat wechselt. Am besten man malt mal einen Wahrscheinlichkeitsbaum
wie in der Mittelstufe, dann sieht man es deutlich!

Ansonsten die meiner Meinung nach laienverständlichste Erklärung:
http://www.amazon.de/exec/obidos/ASIN/349919337X/qid%3D1035641681/sr%3D1-4/ref%3Dsr_1_2_4/302-6328766-7031260

Gruß

Der Hans

[Maxx]

Hallo Lude,

[... Tor 1, 2 oder 3 ...]
und bietet Ihnen an zu Tor '3' zu wechseln.
Wie entscheiden Sie sich? - Wechseln Sie?

Deine Frage kann so nicht beantwortet werden. Bei derartigen Gewinnspielen (und vor allem bei dem von dir beschriebenen Torwechsel) geht es nicht nur um den Gewinn. Dahinter steckt immer eine hochexplosive Mischung aus Publikum, Moderator, (Geld)Gier, hübschen Assistentinnen und Spannung und natürlich dem Zonk. In aller Regel wird dem Kandidaten der Wechsel mit einer mehr oder weniger hohen "Prämie" schmackhaft gemacht. Hinzu kommt die Höhe eines zu erwartenden Gewinns.

Keine Ahnung ob ich wechseln würde. Vielleicht. Je mehr Adrenalin im Blut desto wahrscheinlicher ...

Maxx

[Der Hans]

Moin!

Die Antwort unten gehört natürlich eigentlich hierher - sorry!

Gruß

Der Hans

[Odium]

Hallo,

warum wechseln?

Ein Tor kann er immer öffnen, klar.
Da man nun bei dieser neuen Möglichkeit zu wählen eine höhere Wahrscheinlichkeit hat das richtige zu treffen wäre es besser zu wechseln. aber warum?
Bei einer vollkommenen Neuentscheidung wäre die Wahrscheinlichkeit höher das richtige zu treffen, da ich mich aber schon auf ein Tor festgelegt habe bleibt es sich gleich.

Auch bei 50:50 könntest du schon auf dem richtigen Tor liegen.
Ich würde dann den Wechsel vom Angebot zu wechseln abhängig machen.

Ok, du bietest mir ein Auto. Ja ich wechsle, mein vorher belegtes Tor wäre mir dann (fast)egal, da ich schon einen dicken Gewinn, den ich mir nicht entgehen lassen will, in der Tasche habe.

Odium

[Michael Jendryschik]

Hallo,

Wie entscheiden Sie sich? - Wechseln Sie?

Aus folgendem Grund sollte man wechseln:
Zu Anfang ist die Wahrscheinlich, dass sich hinter einer Tür der Gewinn befindet, pro Tür jeweils 1/3. Angenommen ich entscheide mich also für Tür 1, liege ich mit 1/3 Wahrscheinlichkeit richtig. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Gewinn hinter Tür 2 oder Tür 3 versteckt, liegt bei 2/3.
Nun wird Tür 2 geöffnet, dahinter befindet sich eine Niete. Die Wahrscheinlichkeit, dass hinter Tür 1 der Hauptgewinn liegt, hat sich nicht geändert, ist weiterhin 1/3, wie zu Anfang. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich hinter Tür 3 der Gewinn befindet, liegt also bei 2/3, ich würde also wechseln.

Gruß,

MI

[Dave]

Hi Michael,

vielleicht irre ich mich ja, aber du kannst doch schlecht mit dritteln rechnen, wenn nur noch halbe (zwei türen) zur debatte stehen?

mfg Dave

[Der Hans]

Moin!

Nochmal: male einen Wahrscheinlichkeitsbaum - von Anfang an!
Dann wirst du sehen, dass Micheals Antwort korrekt ist!

Gruß

Der Hans

[Dave]

Und wie? Mach du doch!

Tür 1   Tür 2   Tür 3
 33%     33%     33%
  +-------+-------+
Tür 1     -     Tür 3
 33%             33%
+17%            +17%

Also wenn das so richtig ist dann versteh ich das nicht... mach du mal

mfg Dave

[Thomas J.S.]

Hallo,

Und wie? Mach du doch!

Tür 1   Tür 2   Tür 3
33%     33%     33%
  +-------+-------+
Tür 1     -     Tür 3
33%             33%
+17%            +17%

Also wenn das so richtig ist dann versteh ich das nicht... mach du mal

Das Problem ist, dass du davon ausgehst, dass der Gewinn nach dem Öffnen der 2. Tür zwischen den verbleibenden Türen neu "ausgelost" wird. Das passiert aber nicht, deshalb kann und wird die Gewninnchance hinter Tür 1 1/3 bleiben.

Grüße
Thomas

[Michael Jendryschik]

Hallo,

vielleicht irre ich mich ja, aber du kannst doch schlecht mit dritteln rechnen, wenn nur noch halbe (zwei türen) zur debatte stehen?

Du hast dich zu Beginn mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 für Tür 1 entschieden. Die Verlustwahrscheinlichkeit von 2/3 verteilt sich auf die übrigen beiden Türen.

+-----+  +-----+  +-----+
 |     |  |     |  |     |
 | 1/3 |  | 1/3 |  | 1/3 |
 |     |  |     |  |     |
 +-----+  +-----+  +-----+

|-----|  |--------------|
   1/3           2/3

Nun wird Tür 2 geöffnet, dahinter befindet sich eine Niete. Dadurch steigt aber nicht die Gewinnwahrscheinlichkeit von Tür 1, diese bleibt bei dieser Konstellation nämlich konstant. Die Verlustwahrscheinlich von 2/3 verteilt sich also weiterhin auf die übrig gebliebenen Türen, sprich: auf Tür 3.

+-----+  +-----+  +-----+
 |     |  |     |  |     |
 | 1/3 |  | 0/3 |  | 2/3 |
 |     |  |     |  |     |
 +-----+  +-----+  +-----+

|-----|  |--------------|
   1/3           2/3

Verstanden? Besser kann ich es nicht erklären.

Gruß,

MI

[Odium]

Hallo,

die würde bedeuten das jedesmal die selbe Verfahrensweise erfolgt, sprich: ich lasse ein Tor öffnen und wechsle dann.
Dies erscheint mir unlogisch.

Odium

[Utz]

Hallo Michael,

Verstanden? Besser kann ich es nicht erklären.

Ja, die Überlegung schon, aber AFAIK ist es unzulässig, über mehrere Spielzüge hinweg Wahrscheinlichkeiten "mitzunehmen", mithin ist der Wahrscheinlichkeitsbaum unzulässig. Beispiel: Du würfelst. Drei mal hattest Du keine sechs. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim vierten Wurf eine sechs kommt? Ganz anders ist es, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei vier Würfen eine sechs dabei ist. In dem vorgestellten Beispiel müssen wir uns um den ersten Fall kümmern.

Grüße,
Utz

[Henning]

Hallo,

Das mit dem Würfeln entspricht aber AFAIK dem 'Ziehen mit Zurücklegen', die Sache mit den Toren ist aber 'Ziehen ohne Zurücklegen'.
Gruß,
Henning

[Sven Rautenberg]

Moin!

Ja, die Überlegung schon, aber AFAIK ist es unzulässig, über mehrere Spielzüge hinweg Wahrscheinlichkeiten "mitzunehmen", mithin ist der Wahrscheinlichkeitsbaum unzulässig. Beispiel: Du würfelst. Drei mal hattest Du keine sechs. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim vierten Wurf eine sechs kommt? Ganz anders ist es, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei vier Würfen eine sechs dabei ist. In dem vorgestellten Beispiel müssen wir uns um den ersten Fall kümmern.

Die Frage ist, ob eine Ereigniswahrscheinlichkeit stochastisch abhängig ist oder nicht.

Beim Würfeln ist das nächste Ergebnis vollkommen unabhängig von allen vorhergehensen Ereignissen. Und auch beim Mehrfachwürfeln ist die Wahrscheinlichkeit von vorhergehenden Ereignissen unabhängig.

Bei der 3-Tor-Frage hingegen sind die Ereignisse voneinander _abhängig_. Denn irgendwie mußt du ja erklären, wieso das eine, gewählte Tor bei der ersten Runde 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit hat, dann die ganze Zeit inhaltsmäßig nicht geändert wird, und am Ende bei 50% aller Fälle ein Auto produzieren soll.

Die 50% Gewinnwahrscheinlichkeit der zwei Tore existieren tatsächlich. Angenommen, der Moderator hat gerade ein Tor geöffnet und den Kandidaten gefragt, ob er wechseln will. Wenn in diesem Moment Marsmännchen landen, die die erste Runde nicht verfolgt haben, und eingeladen werden, ebenfalls ein Tor zu wählen, dann haben die tatsächlich eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 50% für das Auto.

- Sven Rautenberg

[Maxx]

Hallo,

Die 50% Gewinnwahrscheinlichkeit der zwei Tore existieren tatsächlich. Angenommen, der Moderator hat gerade ein Tor geöffnet und den Kandidaten gefragt, ob er wechseln will. Wenn in diesem Moment Marsmännchen landen, die die erste Runde nicht verfolgt haben, und eingeladen werden, ebenfalls ein Tor zu wählen, dann haben die tatsächlich eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 50% für das Auto.

Jemand der, sozusagen "von Anfang an" mitspielt hat also, wenn er wechselt, eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3. Wohingegen Marsbewohner die zufälig landen eine 50:50 Chance haben. Ihr wollt mir also weiß machen, dass sie die Wahrscheinlichkeit durch blose Anwesenheit verändert? Tut mir leid, aber das ist albern.

Neeee, da müsst ihr schon mit etwas besseren Argumenten kommen.

Auch die Geschichte mit den 1000 Toren bringt keine Klarheit. Wenn 998 davon geöffnet werden, dann befindet sich hinter einer der beiden verbleibenden der Gewinn. Nach der allgemein herrschenden Theorie ist _in der anderen_ mit einer Wahrscheinlichkeit von 999/1000 (also nahezu 100%) der Treffer. Und das Ganze nur weil ich zusehe wie sich 998 Türen öffen? Langt es vielleicht wenn ich wegsehe / die Augen schließe ... sind es dann 50% Nun denn, vielleicht schafft es ja noch ein Poster mich davon zu überzeugen ....

Dem Rest wünsche ich eine Gute Nacht

Maxx

[Henning]

Hallo,

Jemand der, sozusagen "von Anfang an" mitspielt hat also, wenn er wechselt, eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3. Wohingegen Marsbewohner die zufälig landen eine 50:50 Chance haben. Ihr wollt mir also weiß machen, dass sie die Wahrscheinlichkeit durch blose Anwesenheit verändert? Tut mir leid, aber das ist albern.

Wenn ich bei drei Toren tippe, habe ich am Anfang eine Chance 1/3 richtig zu liegen, die anderen beiden Tore haben 2/3 Chance.
Die Marsbewohner kommen ja erst, wenn nur noch zwei Tore da sind. Sie wissen also nicht welches Tor ich am Anfang gewählt habe, wenn sie das wüßten, hätten sie die gleiche Chance wie ich. Das ist eben bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit das ein Ereignis eintritt unter der Bedingung das ein anderes Ereignis eingetreten ist.

Bei 1000 Toren ist das doch leicht einzusehen. Wenn ich mich am Anfang entscheide, habe ich eine Chance von 1/1000, die anderen Tore haben 999/1000. Man wechselt also.
Gruß,
Henning

[Michael Jendryschik]

Hallo,

Neeee, da müsst ihr schon mit etwas besseren Argumenten kommen.

Argumente fruchten bei dir nicht. Unter http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/staff/phpages/koch/ziegen/node2.html findest du unter anderem ein JAVA-Applet, anhand dessen du selbst nachprüfen kannst, dass das Wahrscheinlichkeitsverhältnis tatsächlich so ist, wie wir dir sagen.

Gruß,

MI

[Henning]

Hallo,

100 Spiele gespielt davon 67 gewonnen
35 Gewinne ohne Umwahl
65 mit Umwahl

Wenn das nicht eindeutig ist!

Gruß,
Henning

[Christian Seiler]

Hallo Maxx,

Jemand der, sozusagen "von Anfang an" mitspielt hat also, wenn er wechselt, eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3. Wohingegen Marsbewohner die zufälig landen eine 50:50 Chance haben. Ihr wollt mir also weiß machen, dass sie die Wahrscheinlichkeit durch blose Anwesenheit verändert? Tut mir leid, aber das ist albern.

Jain. Wenn die Marsebewohner etwas von _vorher_ _wissen_, dann ja. Folgendes Szenario:

1. Gast wählt Tor A.
2. Schowmaster öffnet Tor B.
3. Schowmaster schmeißt Gast raus, weil er ein Raumschiff kommen sieht, Gast wird zusammen mit allen anderen Zuschauern in einen Kerker geworfen, wo sie niemandem etwas mitteilen können.
4. Marsbewohner landen.
5. Schowmaster stellt die Marsbewohner vor die Wahl zwischen den beiden Toren. Sie kennen die _vorige_ Entscheidung des Menschen _nicht_. Folglich haben sie eine 50/50-Chance.

Anderes Szenario:

1. Gast wählt Tor A.
2. Schowmaster öffnet Tor B.
3. Schowmaster schmeißt Gast raus, weil er ein Raumschiff kommen sieht, Gast wird zusammen mit allen anderen Zuschauern in einen Kerker geworfen, wo sie niemandem etwas mitteilen können.
4. Marsbewohner landen.
5. Ein Zuschauer kann entkommen und teilt den Marsbewohnern mit, was der Gast vorher gewählt hat.
6. Schowmaster stellt die Marsbewohner vor die Wahl zwischen den beiden Toren. Sie _kennen_ die vorige Entscheidung. Folglich haben sie jetzt die 2/3-Chance, wenn sie das Tor C nehmen, das der Gast vorher *nicht* gewählt hatte.

Die Warscheinlichkeit ist _deswegen_ nicht 50/50, weil das *Wissen* um die vorige Entscheidung erhalten geblieben ist. Ohne dieses Wissen ist es eine 50/50-Chance.

Viele Grüße,
Christian

[Maxx]

Hallo Christian,

Jemand der, sozusagen "von Anfang an" mitspielt hat also, wenn er wechselt, eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3. Wohingegen Marsbewohner die zufälig landen eine 50:50 Chance haben. Ihr wollt mir also weiß machen, dass sie die Wahrscheinlichkeit durch blose Anwesenheit verändert? Tut mir leid, aber das ist albern.

Jain. Wenn die Marsebewohner etwas von _vorher_ _wissen_, dann ja. Folgendes Szenario:
[...]

Anderes Szenario:
[...]

:-)) Danke, eine nette Erklärung. Obiges Posting war ja auch nicht sooo ernst gemeint. Kenst du das Gefühl? Die rechte Gehirnhälfte (die mathematisch / logische) akzeptiert die Lösung. Die linke Gehirnhälfte (die intuitive) will das einfach nicht verstehen.

Grüße,

Maxx

[Christian Seiler]

Hallo Maxx,

Kenst du das Gefühl? Die rechte Gehirnhälfte (die mathematisch / logische) akzeptiert die Lösung. Die linke Gehirnhälfte (die intuitive) will das einfach nicht verstehen.

Nein, das Gefühl kenne ich nicht. Als ich zum ersten Mal von diesem Problem gehört habe (ist eine Weile her), haben meine _BEIDEN_ Gehirnhälften das nicht glauben wollen. ;)

Viele Grüße,
Christian

[Utz]

Hallo,

Die rechte Gehirnhälfte (die mathematisch / logische) akzeptiert die Lösung. Die linke Gehirnhälfte (die intuitive) will das einfach nicht verstehen.

Da muss ich einfach eingreifen: bei Rechtshändern ist die _linke_ Hirnhälfte ist logische, die _rechte_ die intuitive. bei Links- oder Mischhändern lässt sich eine solche Aufteilung nicht nachweisen.

Grüße,

Utz

[Christian Seiler]

Hallo Utz,

Da muss ich einfach eingreifen: bei Rechtshändern ist die _linke_ Hirnhälfte ist logische, die _rechte_ die intuitive. bei Links- oder Mischhändern lässt sich eine solche Aufteilung nicht nachweisen.

Ist das jetzt nun besser oder schlechter wenn man - wie ich - Linkshänder ist?

Viele Grüße,
Christian

[Utz]

Hallo Christian,

Ist das jetzt nun besser oder schlechter wenn man - wie ich - Linkshänder ist?

Im Normalfall ist es egal, im Falle einer schweren Schädigung einer der Hirnhälften oder der Brücke zwischen den Hirnhälften musst Du - theoretisch - mit weniger Ausfällen von kognitiven Leistungen rechnen als ein Rechtshänder. Trotzdem immer nen Helm tragen beim Motorradfahren :-)

Grüße,

Utz

[Odium]

Hallo,

wieso erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, das sich hinter Tür 3 der Gewinn befindet? Erklär mir das. Die Niete fällt raus und meiner Meinung nach verteilt sich die Wahrscheinlichkeit auf beide noch vorhandene Möglichkeiten.

Wenn man nun komplett mit einer 50:50 Möglichkeit an die Entscheidung treten würde wäre die Wahrscheionlickeit höher das richtieg zu treffen, aber da ich mich vorher schon entschieden habe, bleibt die gleich.
Man könnte auch annehmen, das nach aufdecken der Niete eine Neuentscheidung stattgefunden hätte. Ich hätte mich mit der 50:50 Möglichkeit wieder für das selbe Tor entschieden, da die Wahrscheinlickeit gleich ist.

Odium

[Dave]

erster *g*

mfg Dave

[Odium]

ich war nur länger am tippen... ;-)

Odium

[Sven Rautenberg]

Moin!

wieso erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, das sich hinter Tür 3 der Gewinn befindet? Erklär mir das. Die Niete fällt raus und meiner Meinung nach verteilt sich die Wahrscheinlichkeit auf beide noch vorhandene Möglichkeiten.

Eben nicht.

Deine erste Wahl kannst du so treffen, dass du ein Tor mit 1/3 Trefferwahrscheinlichkeit auswählst, und die beiden anderen Tore mit 2/3 Trefferwahrscheinlichkeit _nicht_ auswählst.

Das bedeutet: Wenn jetzt die Auflösung kommen würde, hättest du zu 1/3 den Gewinn, zu 2/3 aber nicht.

Dann geht die eine nicht gewählte Tür auf, hinter der kein Gewinn liegt. Das bedeutet: Du weißt von einer Tür, dass sie keinen Gewinn enthält. Du weißt von deiner Tür, dass sie mit 1/3 den Gewinn enthält. Das bedeutet, dass die verbleibende Tür zu 2/3 den Gewinn enthält.

Voraussetzung hierbei ist, dass man annimmt, dass das Auto nach dem Öffnen des Tores _nicht_ neu gemischt wird!

Denn ansonsten wäre die zweite Auswahl in der Tat eine 50:50-Entscheidung. Dieses Neumischen findet aber weder in der Erzählung noch in der Sendung statt.

Da es hier um Statistik geht, kann man natürlich auch ganz einfach das Gesetz der großen Zahl anwenden und das Experiment praktisch ausprobieren. Wenn man 100 oder 1000 Gewinne auf diese Weise ausspielt, sollte schon recht deutlich werden, ob die Chancen, bei seiner ersten Tür zu bleiben, zu 50% Gewinn oder nur zu 33% Gewinn führen.

Und genau das kann man wiederum sogar logisch nachvollziehen: Wenn man seine erste Tür gewählt hat und dabei bleibt, ist es für das Ergebnis des Gewinns ja absolut unerheblich, ob der Moderator danach noch eine Zonk-Tür öffnet und einem nach dem Wechselwillen befragt. Es ist offensichtlich, dass hier 33% Gewinnchance herrschen: Eine von drei Türen hat den Gewinn.

Würde man den Spieler aber nach seiner ersten Wahl klonen, und würde das Duplikat dann _immer_ wechseln und die jeweils verbleibende, zuerst nicht gewählte Tür nehmen: Wo bleiben dann die 66% der nicht gewonnenen Autos des Originalspielers? Klar, beim Klon (oder beim Autohändler) natürlich.

- Sven Rautenberg

[Lude]

Hallo, Michael,

Wie entscheiden Sie sich? - Wechseln Sie?

Aus folgendem Grund sollte man wechseln:
Zu Anfang ist die Wahrscheinlich, dass sich hinter einer Tür der Gewinn befindet, pro Tür jeweils 1/3. Angenommen ich entscheide mich also für Tür 1, liege ich mit 1/3 Wahrscheinlichkeit richtig. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Gewinn hinter Tür 2 oder Tür 3 versteckt, liegt bei 2/3.
Nun wird Tür 2 geöffnet, dahinter befindet sich eine Niete. Die Wahrscheinlichkeit, dass hinter Tür 1 der Hauptgewinn liegt, hat sich nicht geändert, ist weiterhin 1/3, wie zu Anfang. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich hinter Tür 3 der Gewinn befindet, liegt also bei 2/3, ich würde also wechseln.

das ist die offizielle Loesung. Glueckwunsch! (War's schwer? - Manche beissen sich bei der "50%-Geschichte" fest, da kann man dann gut die Problemstellung dahingehend ereitern, dass man nicht mehr drei sondern 1000 Tore hat, wovon Wim 998 oeffnet. Dann wird's klarer.)

Leider glaube ich nicht an die o.g. Loesung, sondern an die "50%-Geschichte". Begruendung: Es trat das Ereignis auf, dass Wim ein Tor geoeffnet hat. Daraus kann man nicht ableiten, dass er es immer tut, bzw. immer getan haette.

Wenn man also in der Sendung ist und konkret zu entscheiden hat, wuerde ich losen, ob ich bei meinem Tor bleibe oder wechsel.

Interessanter wird die Sache, wenn das Ereignis iteriert wird. Aber auch da bin ich nicht sicher, was richtig ist.

Gruss,
Lude

[Thomas J.S.]

Hallo,

Wie entscheiden Sie sich? - Wechseln Sie?

Aus folgendem Grund sollte man wechseln:
das ist die offizielle Loesung. Glueckwunsch! (War's schwer?

Die Frage ist eine Frage der bedingten Wahrscheinlichkeit. Wenn ich mich nicht allzu sehr irre wird diese (deine) Frage in der Statistik als Mounty-Hall-Dilemma bezeichnet (nach einem US-Show).

Grüße
Thomas

[Lude]

Hi,

wenn es sich um ein rein mathematisches Problem handelt, ist die Loesung ("Du musst wechseln") richtig.

Ich hatte mich sicherlich in meinem Ausgangsposting nicht ganz klar ausgedrueckt. Ich bearbeite die Fragestellung nicht als rein mathematisches Problem, sondern stelle wirklich die Frage "Soll man wechseln?", wenn man z.B. morgen in so einer Sendung ist. - Soz. als Uebungsbeispiel fuer bestimmte durchaus aehnliche Kooperationssituationen des Alltags.

Die Situation ist ja so:

• Du wechselst und Deine Erwartung geht von 33% auf 0% herunter, weil Wim boese ist
• Du wechselst und Deine Erwartung geht von 33% auf 100% hoch, weil Wim "lieb" ist
• Du wechselst und Deine Erwartung geht von 33% auf 67% hoch, weil Wim "ehrlich" ist
• Du hoerst nicht auf Wim und hast auf einmal 50% (da nur noch 2 Tore da statt 3) statt 33% (Das stimmt doch, oder? ;-)
• [Weitere Ausfuehrungen dieser Art koennten folgen...]

Was macht man also Eurer Meinung zufolge in der _Realitaet_? - Glaubt man Wim erst einmal? - Glaubt man ihm erst einmal nicht? - "Scort" man Wim und bleibt beispielsweise erst einmal bei seiner Wahl? - Oder alles Mumpitz und ich nehme Tor 3 (Zitat eines Posters)?

Wahrscheinlich etwas fuer Soziologen!?

Gruss,
Lude

[Stefan Bach]

Hallo,

Die Situation ist ja so:

• Du hoerst nicht auf Wim und hast auf einmal 50% (da nur noch 2 Tore da statt 3) statt 33% (Das stimmt doch, oder? ;-)

Nein, stimmt natürlich nicht. Wenn man von den drei Toren vorher eines ausgewählt hat, denn hat man immer noch die 33% Gewinnchance von davor.

Was macht man also Eurer Meinung zufolge in der _Realitaet_? - Glaubt man Wim erst einmal? - Glaubt man ihm erst einmal nicht? - "Scort" man Wim und bleibt beispielsweise erst einmal bei seiner Wahl? - Oder alles Mumpitz und ich nehme Tor 3 (Zitat eines Posters)?

Wer zum Teufel ist Wim?

Wenn man sein Tor gewählt hatte und auf seiner 33%igen Chance sitzt, der Moderator dann ein falsches öffnet und einem das Wechseln anbietet, dann hat man aus mathematischer Sicht nach dem Wechesln die größere Chance.
Allerdings nur dann, wenn man annimmt, dass der Moderator einem das Wechseln unabhängig von der ersten Wahl anbietet. Da der Moderator ja schon weiß wo der Gewinn ist kann er dir das Wechseln ja auch nur dann anbieten, wenn du zufällig auf dem Tor mit dem Auto gelandet bist.

Viele Grüße,

Stefan

[Lude]

Hi,

Die Situation ist ja so:

• Du hoerst nicht auf Wim und hast auf einmal 50% (da nur noch 2 Tore da statt 3) statt 33% (Das stimmt doch, oder? ;-)

Nein, stimmt natürlich nicht. Wenn man von den drei Toren vorher eines ausgewählt hat, denn hat man immer noch die 33% Gewinnchance von davor.

Also man hat ja dann (wenn man davon ausgeht, dass Wim nicht immer ein Tor oeffnet) offensichtlich 50%, wenn man lost. Was ist denn da unstimmig?

Was macht man also Eurer Meinung zufolge in der _Realitaet_? - Glaubt man Wim erst einmal? - Glaubt man ihm erst einmal nicht? - "Scort" man Wim und bleibt beispielsweise erst einmal bei seiner Wahl? - Oder alles Mumpitz und ich nehme Tor 3 (Zitat eines Posters)?

Wer zum Teufel ist Wim?

Der Showmaster.

Wenn man sein Tor gewählt hatte und auf seiner 33%igen Chance sitzt, der Moderator dann ein falsches öffnet und einem das Wechseln anbietet, dann hat man aus mathematischer Sicht nach dem Wechesln die größere Chance.

Nicht, wenn Wim immer nur dann ein Tor oeffnet, wenn man anfangs das richtige Tor gewaehlt hat. - Wenn man dann wechselt, hat man 0%.

Allerdings nur dann, wenn man annimmt, dass der Moderator einem das Wechseln unabhängig von der ersten Wahl anbietet.

Ja, wer geht denn heutzutage noch davon aus. Stand das in meinem Ausgangsposting?

Da der Moderator ja schon weiß wo der Gewinn ist kann er dir das Wechseln ja auch nur dann anbieten, wenn du zufällig auf dem Tor mit dem Auto gelandet bist.

Richtig, damit muss man rechnen. - Und was folgt daraus?

Gruss,
Lude

[Stefan Bach]

Hallo,

Wer zum Teufel ist Wim?

Der Showmaster.

Aha, so weit hab ichs mitbekommen. Aber wer ist jetzt Wim? Ich kenne die Show die als auf Kabel1(?) kommt, mit dem roten Zonk-Tier. Heißt der Kerl Wim? Oder gibt es da noch eine andere Show?

Da der Moderator ja schon weiß wo der Gewinn ist kann er dir das Wechseln ja auch nur dann anbieten, wenn du zufällig auf dem Tor mit dem Auto gelandet bist.

Richtig, damit muss man rechnen. - Und was folgt daraus?

Damit muss man rechnen? Zugegeben, das habe ich nicht. Ich habe es mehr aus der Sicht des Ziegenproblems betrachtet. Ich bin ja auch Mathe-LK vorgeschädigt. Wenn wir nicht wissen wann der Moderator das Wechseln anbietet und für das Angebot oder Nichtangebot auch keine Wahrscheinlichkeiten kennen, dann kommen wir hier mit Stochastik nicht mehr weiter. Da muss man sich dann wohl auf Glück, Gefühl oder Menschenkenntnisss verlassen.

Viele Grüße,

Stefan

[Lude]

Hi,

Wer zum Teufel ist Wim?

Der Showmaster.

Aha, so weit hab ichs mitbekommen. Aber wer ist jetzt Wim? Ich kenne die Show die als auf Kabel1(?) kommt, mit dem roten Zonk-Tier. Heißt der Kerl Wim? Oder gibt es da noch eine andere Show?

Wim Thoelke. Aber der spielt nicht mehr hier, sondern in der Hoelle.

Da der Moderator ja schon weiß wo der Gewinn ist kann er dir das Wechseln ja auch nur dann anbieten, wenn du zufällig auf dem Tor mit dem Auto gelandet bist.

Richtig, damit muss man rechnen. - Und was folgt daraus?

Damit muss man rechnen? Zugegeben, das habe ich nicht. Ich habe es mehr aus der Sicht des Ziegenproblems betrachtet. Ich bin ja auch Mathe-LK vorgeschädigt.

Schulwissen ist gar nicht so schlecht. Allerdings sollte man nicht auf die Lehrer hoeren, denn die sind erfahrungsgemaess duemmer als das Ziegenproblem Analysierende.

Wenn wir nicht wissen wann der Moderator das Wechseln anbietet und für das Angebot oder Nichtangebot auch keine Wahrscheinlichkeiten kennen, dann kommen wir hier mit Stochastik nicht mehr weiter. Da muss man sich dann wohl auf Glück, Gefühl oder Menschenkenntnisss verlassen.

Was ist Menschenkenntnis?

Gruss,
Lude

[Stefan Bach]

Hallo,

Wim Thoelke. Aber der spielt nicht mehr hier, sondern in der Hoelle.

Na da hat er es ja immerhin schön warm.

Wenn wir nicht wissen wann der Moderator das Wechseln anbietet und für das Angebot oder Nichtangebot auch keine Wahrscheinlichkeiten kennen, dann kommen wir hier mit Stochastik nicht mehr weiter. Da muss man sich dann wohl auf Glück, Gefühl oder Menschenkenntnisss verlassen.

Was ist Menschenkenntnis?

Hmm... Eine empirische Analyse aller bisherigen Sendungen um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen ob man vom Moderator verarscht wird oder nicht?!?

Viele Grüße,

Stefan

[Der Hans]

Moin!

Wechseln ist nicht nur korrekt, sondern auch einsehbar richtig:
Dazu stellen wir uns 2 Personen vor, eine die nie wechselt (A) und eine,
die immer wechselt (B).

A wählt zunächst eine der Türen und trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 den Preis.
Was immer jetzt passiert, A bleibt dabei und somit auch seine Wahrscheinlichkeit von 1/3.

Auch B wählt eine Tür und hat damit den Rest festgelegt. Der Moderator öffnet eine Tür
und B wählt die verbleibende. Hatte B anfangs die korrekte Tür gewählt (1/3 !), wechselt
er nun auf die falsche Tür und verliert. Hatte B aber anfangs die falsche Tür gewählt
(2/3 !) so öffnet der Moderator die zweite falsche Tür und B wechselt zwangsläufug auf
die richtige Tür mit dem Preis!

Noch Fragen? *g*

Nach wie vor gilt:
1. Das ganze passt nur, wenn der Moderator wissend ist!
2. Der Moderator öffnet in jedem Fall eine falsche Tür nach der ersten Wahl!

Gruß

Der Hans

[Sven Rautenberg]

Moin!

Nach wie vor gilt:

1. Das ganze passt nur, wenn der Moderator wissend ist!

Warum? Was soll er wissen? Natürlich würde die absolute Gewinnchance sinken, wenn der Moderator unwissen ist und per dummem Zufall (Chance: 1/3) das Tor mit dem Preis öffnet. Weil dann in 1/3 der Spiele es gar nicht mehr zur Frage "wollen Sie wechseln?" kommt.

Bleiben aber immer noch 2/3 aller Spiele, in denen man mit dem Wechseln des Tores seine Gewinnchance auf 2/3 erhöhen kann - also gewinnt man mit Wechseln in 4/9 aller Fälle ein Auto.

2. Der Moderator öffnet in jedem Fall eine falsche Tür nach der ersten Wahl!

Ja klar, wenn er das nicht tut, ist die ganze Überlegung im Arsch^W^Wunzutreffend.

- Sven Rautenberg

[bernd]

Hallo,

Hm... ich denke die Antwort ist falsch, denn es gibt nur einen Hauptgewinn. Anders wäre es wenn es nur eine Niete gäbe, dann würde ich wechseln, wenn hinter Tor 2 ein Gewinn wäre, weil ich das Risiko minimiere. Bei nur einen Hauptgewinn hingegen minimiere ich die Chance den auch zu kriegen (wenn ich wechsel). Also ist das Tor 3 hier wohl die falsche Antwort (bei nur einem Gewinn und zwei Nieten).

bernd

[Micha]

Hi,

die Überschrift soll nicht beleidigend sein, aber manchmal glaube ich, daß die Mathematiker vor lauter Bäumen den Wald nicht sehen.

Richtig ist, daß die Wahrscheinlichkeit bei 3 Toren 1/3 ggü. 2/3 ist.

Falsch aber ist, daß nach dem Öffnen eines leeren Tores die Wahrscheinlichkeit mitgenommen wird in die "2. Teilrunde" dieses Spieles.

Richtig ist vielmehr, daß nach dem Öffnen des einen leeren Tores die Wahrscheinlichkeit neu berechnet werden muß und die ist dann je Tor 50/50 oder 1/1!

Demnach ist es also völlig Wurscht, ob gewechselt wird oder nicht!

Grüße

Micha

[Sven Rautenberg]

Moin!

Richtig ist, daß die Wahrscheinlichkeit bei 3 Toren 1/3 ggü. 2/3 ist.

Falsch aber ist, daß nach dem Öffnen eines leeren Tores die Wahrscheinlichkeit mitgenommen wird in die "2. Teilrunde" dieses Spieles.

Richtig ist vielmehr, daß nach dem Öffnen des einen leeren Tores die Wahrscheinlichkeit neu berechnet werden muß und die ist dann je Tor 50/50 oder 1/1!

Demnach ist es also völlig Wurscht, ob gewechselt wird oder nicht!

Dann mache folgendes Gedankenexperiment: Der Kandidat wählt immer ein Tor und ändert seine Wahl auf Rückfrage _nicht_. Wieviele Autos kriegt er durchschnittlich? Doch mit Sicherheit nicht 50%, sondern eher genau die 1/3 Wahrscheinlichkeit, die du selbst für die erste Runde zugegeben hast.

- Sven Rautenberg

[Micha]

Dann mache folgendes Gedankenexperiment: Der Kandidat wählt immer ein Tor und ändert seine Wahl auf Rückfrage _nicht_. Wieviele Autos kriegt er durchschnittlich? Doch mit Sicherheit nicht 50%, sondern eher genau die 1/3 Wahrscheinlichkeit, die du selbst für die erste Runde zugegeben hast.

Hi Sven,

Falsch!

Er bekommt genau 50%, nämlich 50% von der neuen Ausgangssituation der 2 verbleibenden Tore!
Das es mal 3 Tore gegeben hat, unter denen der Kandidat hat wählen dürfen, ist Schnee von vorgestern. Und die damit verbundene Wahrscheinlichkeit ebenso!

Mach Du mal folgendes Experiment:

Der, der immer wechselt, wieviel Prozent der Autos bekommt er, ausgehend von der neuen Situation der 2 verbleibenden Tore?

Grüße

Micha

[Sven Rautenberg]

Moin!

Dann mache folgendes Gedankenexperiment: Der Kandidat wählt immer ein Tor und ändert seine Wahl auf Rückfrage _nicht_. Wieviele Autos kriegt er durchschnittlich? Doch mit Sicherheit nicht 50%, sondern eher genau die 1/3 Wahrscheinlichkeit, die du selbst für die erste Runde zugegeben hast.

Hi Sven,

Falsch!

Er bekommt genau 50%, nämlich 50% von der neuen Ausgangssituation der 2 verbleibenden Tore!
Das es mal 3 Tore gegeben hat, unter denen der Kandidat hat wählen dürfen, ist Schnee von vorgestern. Und die damit verbundene Wahrscheinlichkeit ebenso!

Eben nicht.

Wenn du 3 Tore hast, und hinter einem ist der Preis, dann hat jedes Tor 1/3 Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen.

Ist das strittig? Ich denke nein.

Wenn du dich also entscheidest, ein Tor zu nehmen, kriegst du 1/3 Auto.

Wenn du ignorierst, was der Moderator für eine Show abzieht, um dich von deiner Wahl abzubringen, und du stur bei deiner ersten Wahl bleibst, kriegst du 1/3 Auto. Du hast ja eines von drei Toren gewählt.

Wenn der Moderator dir aber die Möglichkeit gibt, deine Wahl abzuändern, indem er dir anbietet: "Nehmen sie die beiden anderen Tore zusammen! Wenn eines leer ist: Scheißegal, Sie gewinnen dann das, was im anderen Tor ist!" - Würdest du _dann_ nicht auch wechseln. Du hast ja dann die Wahl zwischen deinem 1/3-Tor, und den beiden anderen 1/3-Toren zusammen, also 2/3.

Klingt das nicht logisch?

- Sven Rautenberg

[Micha]

Wenn der Moderator dir aber die Möglichkeit gibt, deine Wahl abzuändern, indem er dir anbietet: "Nehmen sie die beiden anderen Tore zusammen! Wenn eines leer ist: Scheißegal, Sie gewinnen dann das, was im anderen Tor ist!" - Würdest du _dann_ nicht auch wechseln. Du hast ja dann die Wahl zwischen deinem 1/3-Tor, und den beiden anderen 1/3-Toren zusammen, also 2/3.

Klingt das nicht logisch?

- Sven Rautenberg

Sicher, das tut es. Auf den ersten Blick jedenfalls. Da aber zu 100% sicher und auch dem Grunde nach bekannt ist, daß eines dieser Tore leer ist, ist die Chance eben nur 50/50.
Es ist ja NICHT so, daß der Moderator mir wirklich 2 Tore frei eingesteht, sondern wissenderweise IMMER 1 leeres Tor dazugeben würde.
Insofern ist das, was eben noch logisch klang, eine reine 50/50 Lösung.
Und das bleibt sie auch in diesem Spiel.

Ich habe 2 x 1 Entscheidungssituation:

1. 1 Tor von 3 wählen. (Was aber nur eine Farce ist)

2. 1 Tor von 2 wählen.

Grüße

Micha

[Henning]

Hallo,

Es gibt 1000 Tore. Der Spieler entscheidet sich für eines. Der Moderator öffnet dann 998 leere Tore.
Hättest du dann folgendes geschrieben:

Ich habe 2 x 1 Entscheidungssituation:

1) 1 Tor von 1000 wählen. (Was aber nur eine Farce ist)

2) 1 Tor von 2 wählen.

Gruß,
Henning

[Micha]

Hi Henning,
Ja, selbstverständlich. Wenn klar ist, daß, egal wie meine Entscheidung ausfällt, 998 leere Tore geöffnet werden.
Für mich besteht keinerlei Unterschied, ob diese Tore vor oder nach meiner Entscheidung geöffnet werden, da ja variabel ist, welche geöffnet werden.
Grüße
Micha

Hallo,

Es gibt 1000 Tore. Der Spieler entscheidet sich für eines. Der Moderator öffnet dann 998 leere Tore.
Hättest du dann folgendes geschrieben:

Ich habe 2 x 1 Entscheidungssituation:

1) 1 Tor von 1000 wählen. (Was aber nur eine Farce ist)

2) 1 Tor von 2 wählen.

Gruß,
Henning

[Sven Rautenberg]

Moin!

Ja, selbstverständlich. Wenn klar ist, daß, egal wie meine Entscheidung ausfällt, 998 leere Tore geöffnet werden.
Für mich besteht keinerlei Unterschied, ob diese Tore vor oder nach meiner Entscheidung geöffnet werden, da ja variabel ist, welche geöffnet werden.

Und wo ist dann der Unterschied, ob 998 von tausend oder nur ein Tor von dreien geöffnet werden?

- Sven Rautenberg

[Henning]

Hallo,
<abstrakter code>
gewonnen = 0;
prozent = 0;
array[2] = {"","",""};
for i=1 to (unendlich)
{
  x = random(1,3);
  array[x]="Gewinn"; //Gewinn wird hinter einem Tor versteckt
  y = random(1,3);   //Spieler wählt ein Tor
  if array[y] != "Gewinn" gewonnen++; /*da der Spieler immer wechselt gewinnt man wenn man zu Beginn das leere Tor gewählt hat */
  prozent = gewonnen/i;
}
</abstrakter code>

Frage: Wie lautet der Grenzwert von prozent für i gegen unendlich?

Gruß,
Henning

[Peppy]

ich denke ihr redet an der eigentlichen frage vorbei.

die situation 1 (1 von 3 toren) ist doch total unwichtig.
es ist einfach eine situation, die das ganze interessanter
gestalten soll, aber nichts mit der tatsache zu tun hat,
dass der kandidat nun vor 2 toren steht, in denen sich ein
gewinn befindet.

ob er jetzt wechselt oder nicht ist auch egal, da die
warscheinlichkeit bei 50% liegt, dass der kandidat gewinnt.

nochmal zur verdeutlichung:
alte situation: 3 tore, ein gewinn, warscheinlichkeit auf gewinn: 33,3%
neue sitation (die nichts, aber auch gar nichts mit der alten zu
tun hat): 2 tore, ein gewinn, warscheinlichkeit auf gewinn: 50%

[Christian Seiler]

Hallo Peppy,

ich denke ihr redet an der eigentlichen frage vorbei.

Nein.

die situation 1 (1 von 3 toren) ist doch total unwichtig.

Nein.

es ist einfach eine situation, die das ganze interessanter
gestalten soll, aber nichts mit der tatsache zu tun hat,
dass der kandidat nun vor 2 toren steht, in denen sich ein
gewinn befindet.

Nein, eben nicht.

ob er jetzt wechselt oder nicht ist auch egal, da die
warscheinlichkeit bei 50% liegt, dass der kandidat gewinnt.

Nein.

nochmal zur verdeutlichung:
alte situation: 3 tore, ein gewinn, warscheinlichkeit auf gewinn: 33,3%
neue sitation (die nichts, aber auch gar nichts mit der alten zu
tun hat): 2 tore, ein gewinn, warscheinlichkeit auf gewinn: 50%

Falsch. Also nochmal:

Ereignisse:

(1) Kandidat wählt Türe aus
(2) Moderator öffnet ANDERE Türe, die auf JEDEN FALL eine NIETE ist
(3) Kandidat entscheidet sich, ob er wechselt oder nicht

Die Warscheinlichkeit des Gewinns bei (1) dürfte ja klar sein: 1/3. Nun geschieht (2) Wenn jetzt bei (3) die Chance 1/2 ist, dann kann der Kandidat ja genausogut bei seiner ersten Wahl bleiben. Nehmen wir dies also mal an. Der Kandidat bleibt bei seiner ursprünglichen Wahl. Nach Deiner Logik hat er jetzt eine Chance von 1/2, dass er bei der richtigen Tür ist. Aber GLEICHZEITIG müsste er laut (1) eine Chance von 1/3 haben, denn er hat ja die Türe nicht gewechselt und das, was danach passiert ist, ist irrelevant; er hat sich ja entschieden, _bevor_ der Moderator etwas anderes angestellt hat.

Mach doch mal ein einfaches Experiment: Du bist alleine in Deinem Zimmer. Du hast drei Hütchen. Du versteckst unter einem der drei Hütchen eine Praline. Du stellst die Hütchen nebeneinander auf. Dann bittest Du einen Freund herein. Der soll ein Hütchen auswählen. Du öffnest dann eine Niete. (Du weißt ja, wo die Praline steckt) Dann soll Dein Freund sich _absichtlich_ entscheiden zu wechseln. Das ganze macht ihr dann mindestens 20 Mal. Wenn Dich Logik nicht überzeugt, vielleicht überzeugt Dich ja Empirik.

Viele Grüße,
Christian

[Jörg Lorenz]

Halli hallo,

suche mal im Internet nach Ziegenproblem.

Hier ist schon mal ein Link: http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/staff/phpages/koch/ziegen/node2.html

Viele Grüße

Jörg

[asdf]

Ich wähle Tor 3 und bekomme leider den Zonk.

Deshalb geht mir diese Theorie am Arsch vorbei.

[Stefan Bach]

Hallo,

ich weiß, dass es für viele nicht einfach zu begreifen ist, dass man beim Wechseln höhere Gewinnchancen bekommt. Ich habe mal versucht das ganze über ein kleines Bild klarer zu stellen. (Aber wahrscheinlich ist das für jeden außer mir sowieso unverständlich gemalt...)

<img src="http://www.realteck.in-berlin.de/pub/torproblem.gif" border="0" alt="">

Viele Grüße,

Stefan

[Bio]

Sup!

Erstmal die möglichen Abläufe:

1. Spieler wählt Gewinn (1/3 Wahrscheinlichkeit)
1a wechselt nicht -> Gewinn
1b wechselt -> Verlust

2. Spieler wählt Niete (1/3 Wahrscheinlichkeit)
2a Spieler wählt Niete, wechselt nicht -> Verlust
2b Spieler wählt Niete, wechselt -> Gewinn

3. Spieler wäht Niete (1/3 Wahrscheinlichkeit)
3a Spieler wählt Niete, wechselt nicht -> Verlust
3b Spieler wählt Niete, wechselt -> Gewinn

Wie man sieht, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten zu Gewinnen bei den b-Varianten 2/3, bei den a-Varianten 1/3.

Es gibt aber auch noch eine textuelle Erklärung:

Die Chance, in der ersten Runde richtig zu liegen liegt bei 1/3, falsch zu liegen bei 2/3.

Der Moderator deckt nach der ersten Runde immer ein leeres Tor/eine Niete auf.
Daraus lässt sich nicht ableiten, daß nun die Chance, daß richtige Tor gewählt zu haben, auf 1/2 steigt, weil der Moderator unabhängig davon, ob man richtig oder falsch liegt, immer ein leeres Tor bzw. eine Niete öffnen kann. Das Öffnen des Tores ist nur Show - es birgt keinen Informationsgehalt hinsichtlich der Richtigkeit der eigenen Wahl.
Aber durch das Ausscheiden des dritten Tores fällt eine der falschen Möglichkeiten weg.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muß sich weiterhin auf 1 aufaddieren.
Daraus folgt, daß der Gewinn mit 2/3 Wahrscheinlichkeit im anderen Tor liegt, denn die eigene Chance von 1/3 wird *nicht* verändert.

Gruesse,

Bio

[Lude]

Einspruch, Euer Ehren,

Daraus folgt, daß der Gewinn mit 2/3 Wahrscheinlichkeit im anderen Tor liegt, denn die eigene Chance von 1/3 wird *nicht* verändert.

mathematisch gesehen haetten Sie natuerlich recht, wenn davon ausgegangen werden kann, dass Wim immer einen Wechsel unter den beschriebenen Bedingungen anbietet. Das ist aber laut Auschreibung nicht der Fall. - Ausserdem weise ich hoeflichst darauf hin, dass wir einerseits ein mathematisches Modell haben (das in diesem Fall moeglicherweise ungeeignet ist) und auf der anderen Seite die harte Realitaet. Erkenntnistheorie mag da gefragt sein!? Oder eher Soziologie? - Ist das Problem vielleicht unloesbar?

Gruss,
Lude

[Bio]

Sup!

Daraus folgt, daß der Gewinn mit 2/3 Wahrscheinlichkeit im anderen Tor liegt, denn die eigene Chance von 1/3 wird *nicht* verändert.

mathematisch gesehen haetten Sie natuerlich recht, wenn davon ausgegangen werden kann, dass Wim immer einen Wechsel unter den beschriebenen Bedingungen anbietet. Das ist aber laut Auschreibung nicht der Fall.

Nun, normalerweise bietet Wim diesen Wechseln in dem bekannten Problem immer an. Er kann es wie gesagt auch immer machen, weil immer noch mindestens ein Tor übrigbleibt.
Wenn Wim den Wechsel nicht anbietet, ist das Problem eh' sinn- und witzlos, denn dann ist die Chance einfach 1/3. Wenn er den Wechsel anbietet und vorher eine Niete aus dem Spiel entfernt., ist die Chance beim Wechsel 2/3.
Wenn Wim auch den Gewinn aus dem Spiel entfernen könnte, weil er nicht weiss, wo der Gewinn ist, dann wird er daß, da er Dein Tor nicht öffnen kann, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 (eines der Tore, die du nicht gewählt hast) * 2/3 (chance, das darunter der gewinn ist) = 1/3 tun. Dann wäre die Chance beim Wechseln immer noch 4/9, wie auch in diesem Thread schon berechnet worden ist.

• Ausserdem weise ich hoeflichst darauf hin, dass wir einerseits ein mathematisches Modell haben (das in diesem Fall moeglicherweise ungeeignet ist) und auf der anderen Seite die harte Realitaet. Erkenntnistheorie mag da gefragt sein!? Oder eher Soziologie? - Ist das Problem vielleicht unloesbar?

Ich muß Dich leider davon in Kenntnis setzen, daß die Realität von Glücksspielen und anderen kombinatorischen Problemen durch mathematische Modelle 100%ig abgedeckt wird. Die harte Realität ist, daß Du das nicht realisieren zu wollen scheinst.
Vielleicht kannst Du mit Erkenntnistheorie und Soziologie herausfinden, warum Du mathematische Zusammenhänge nicht begreifen und akzeptieren willst, aber auf das Problem bezogen kommst Du damit sicher nicht weiter.
Und nein, das Problem ist nicht unlösbar. Die Lösung steht doch hier überall.

Gruesse,

Bio

[Lude]

Hi,

Daraus folgt, daß der Gewinn mit 2/3 Wahrscheinlichkeit im anderen Tor liegt, denn die eigene Chance von 1/3 wird *nicht* verändert.

mathematisch gesehen haetten Sie natuerlich recht, wenn davon ausgegangen werden kann, dass Wim immer einen Wechsel unter den beschriebenen Bedingungen anbietet. Das ist aber laut Auschreibung nicht der Fall.

Nun, normalerweise bietet Wim diesen Wechseln in dem bekannten Problem immer an. Er kann es wie gesagt auch immer machen, weil immer noch mindestens ein Tor übrigbleibt.
Wenn Wim den Wechsel nicht anbietet, ist das Problem eh' sinn- und witzlos,

es ist die Situation gegeben (Ausgangsposting), dass Wim Dir "gerade" den Wechsel anbietet. Du weisst aber nicht, ob Wim "lieb", "boese", "gerecht", oder was auch immmer, ist.

denn dann ist die Chance einfach 1/3. Wenn er den Wechsel anbietet und vorher eine Niete aus dem Spiel entfernt., ist die Chance beim Wechsel 2/3.

Nicht, wenn Wim "boese" oder "lieb" ist, nur wenn er "gerecht" ist.

• Ausserdem weise ich hoeflichst darauf hin, dass wir einerseits ein mathematisches Modell haben (das in diesem Fall moeglicherweise ungeeignet ist) und auf der anderen Seite die harte Realitaet. Erkenntnistheorie mag da gefragt sein!? Oder eher Soziologie? - Ist das Problem vielleicht unloesbar?

Ich muß Dich leider davon in Kenntnis setzen, daß die Realität von Glücksspielen und anderen kombinatorischen Problemen durch mathematische Modelle 100%ig abgedeckt wird.

Auch Roulettte?? - Nein, im Ernst, ich bearbeite auch den "soziologischen" und den "erkenntnistheoretischen" Teil des Problems:

• wird das mathematische Modell, also die anerkannte "Loesung" in der Realitaet genutzt, ist es weiterhin unklar, ob sich die Realitaet auch daran halten wird. Das Modell wird erfolgreich oder weniger erfolgreich an die Realiaet angelegt. - Ich vermute natuerlich, dass die "Loesung" in diesem Fall erfolgreich zur Anwendung gebracht werden wird. - Dass mag in diesem Fall recht klar sein, in anderen Kooperationsproblemen ist das nicht so klar.
• in diesem Fall haben wir es gewissermassen mit einer Spielserie der Laenge '1' zu tun. Wie verhaelt man sich, wenn man laengere Serien "spielt". Wie verhaelt man sich wenn man eine Serie der Laenge '1' spielt? - Das ist doch nicht trivial und auch noch nicht abgehandelt.

Die harte Realität ist, daß Du das nicht realisieren zu wollen scheinst.
Vielleicht kannst Du mit Erkenntnistheorie und Soziologie herausfinden, warum Du mathematische Zusammenhänge nicht begreifen und akzeptieren willst, aber auf das Problem bezogen kommst Du damit sicher nicht weiter.
Und nein, das Problem ist nicht unlösbar. Die Lösung steht doch hier überall.

:-(

Gruss,
Lude

[Bio]

Sup!

Nun, normalerweise bietet Wim diesen Wechseln in dem bekannten Problem immer an. Er kann es wie gesagt auch immer machen, weil immer noch mindestens ein Tor übrigbleibt.
Wenn Wim den Wechsel nicht anbietet, ist das Problem eh' sinn- und witzlos,

es ist die Situation gegeben (Ausgangsposting), dass Wim Dir "gerade" den Wechsel anbietet. Du weisst aber nicht, ob Wim "lieb", "boese", "gerecht", oder was auch immmer, ist.

denn dann ist die Chance einfach 1/3. Wenn er den Wechsel anbietet und vorher eine Niete aus dem Spiel entfernt., ist die Chance beim Wechsel 2/3.

Nicht, wenn Wim "boese" oder "lieb" ist, nur wenn er "gerecht" ist.

Das ficht die mathematische Behandelbarkeit aber auch nicht an.
Wenn Wim "böse" ist, dann wird er immer den Gewinn entfernen, wenn er kann - dann können wir nur darauf hoffen, daß wir mit der Chance von 1/3 sofort richtig tippen; die Gewinnchance ist 1/3. Wenn Wim "lieb" ist, dann entfernt er immer eine Niete und bietet den Wechsel an - dann ist unsere Chance 2/3, wie wir bereits errechnet haben.

Wenn Du jetzt eine Wahrscheinlichkeit angibst, mit der Wim "lieb" (bzw. gerecht), "ahnungslos" oder "böse" ist, dann kann man wieder die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Gewinn ausrechnen.

Ich muß Dich leider davon in Kenntnis setzen, daß die Realität von Glücksspielen und anderen kombinatorischen Problemen durch mathematische Modelle 100%ig abgedeckt wird.

Auch Roulettte?? - Nein, im Ernst, ich bearbeite auch den "soziologischen" und den "erkenntnistheoretischen" Teil des Problems:

• wird das mathematische Modell, also die anerkannte "Loesung" in der Realitaet genutzt, ist es weiterhin unklar, ob sich die Realitaet auch daran halten wird. Das Modell wird erfolgreich oder weniger erfolgreich an die Realiaet angelegt. - Ich vermute natuerlich, dass die "Loesung" in diesem Fall erfolgreich zur Anwendung gebracht werden wird. - Dass mag in diesem Fall recht klar sein, in anderen Kooperationsproblemen ist das nicht so klar.

Kennst Du "das Gesetz der grossen Zahl"? Mit steigender Zahl der erfassten Fälle in der Realität konvergiert die tatsächliche zur errechneten Wahrscheinlichkeit. Wenn Du alle Folgen von "Geh' aufs Ganze" gesehen hättest, könntest Du berechnen, ob "Wim" in diesem Fall böse oder gerecht war. Abgesehen davon, daß bei der Sendung der Moderator wusste, in welchem Tor was ist und auch noch Umschläge und Geld im Spiel waren.

• in diesem Fall haben wir es gewissermassen mit einer Spielserie der Laenge '1' zu tun. Wie verhaelt man sich, wenn man laengere Serien "spielt". Wie verhaelt man sich wenn man eine Serie der Laenge '1' spielt? - Das ist doch nicht trivial und auch noch nicht abgehandelt.

Doch. Ist abgehandelt. Siehe das Gesetz der grossen Zahl. Auch wenn beim Roulette zigmal hintereinander rot gewinnt, werden auf lange Sicht beide gleich oft gewinnen.

Wenn Du viermal würfelst, dann bekommst Du eine Folge.
Obwohl diese Folge aufgetreten ist, war sie eigentlich sehr unwahrscheinlich, die Wahrscheinlichkeit betrug 1/6^4 = 1/1296 = ca. 0.0007716. Wenn Du diese Folge, die Du zufällig gewürfelst hast, nochmal würfeln willst, kannst Du Dich folglich halb tot würfeln. Denn bei jedem Versuch (viermal werfen, dann beginnt ein neuer Versuch - fortlaufend werfen gilt nicht!) hast Du nur 1/1296 Chance, die Folge nochmal zu würfeln. Du kannst darauf aufbauend die Chance ausrechnen, die Folge 100, 100 oder 100000 mal hintereinander NICHT zu würfen, und damit auch ausrechnen, wie oft Du würfeln musst, damit Du mit 50% Wahrscheinlichkeit die Folge nochmal würfelst. Mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit musst Du 10000000 Mal würfeln, um die Folge nochmal zu werfen, es wäre theoretisch auch möglich, daß Du die Folge nie wieder wirfst. Aber wenn Du zig Fantastilliarden mal wirfst, dann wirst Du ca. jedes 1296ste mal die Folge geworfen haben.

:-(

Kauf' Dir mal ein Buch "Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Oberstufe". Da wirst Du geholfen. Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein wenig wie Voodoo ;-)

Gruesse,

Bio

[Lude]

Hi,

allerletzte Verstaendnisfrage: Du wuerdest also wechseln?

Gruss,
Lude

[Bio]

Sup!

allerletzte Verstaendnisfrage: Du wuerdest also wechseln?

Nun - ich habe gerade Stefan Bach geantwortet.
Er hat über die Wahrscheinlichkeit spekuliert, mit der der Moderator "böse" ist und den Wechsel nur dann anbietet, wenn man dadurch verliert.

Wenn man konkret in der Entscheidungs-Situation wäre, müsste man natürlich wissen, wie die Sendung normalerweise verläuft - wird das Wechseln immer angeboten, hat der Moderator auch schon mal das Tor mit dem Preis geöffnet und aus dem Spiel genommen?

Wenn der Wechsel nicht immer angeboten wird, ist Vorsicht geboten, denn das könnte ein Indiz sein, daß der Wechsel häufiger dann angeboten wird, wenn man durch den Wechsel den Hauptpreis verliert.
Dann wäre allerdings für die Show auch nichts gewonnen, denn wenn diejenigen, die wechseln, immer verlieren würden, würde niemand wechseln. Die Show könnte natürlich auch hin und wieder keinen Wechsel anbieten, wenn jemand die Niete gewählt hat - das würde aber vom Publikum ebenfalls als unfair empfunden werden.
Wenn man die Show manipulieren wollte, dann sollte man besser hinter den drei Toren eine Drehbühne installieren, so daß man die Preise während der Show noch hin- und herverschieben kann, um so den Kandidaten zu bescheissen und eine gewisse Gewinnquote zu halten.
Da ich davon ausgehe, daß die drei Tore in der Show eine wichtige Rolle spielen, die Show keine Drehbühne benutzt und der Wechsel immer angeboten wird, würde ich wechseln, ja!
Da die meisten Menschen ja keine Ahnung von Wahrscheinlichkeitsrechnung haben, wird wahrscheinlich auch das Wechseln als Strategie in diesen Shows real nicht praktiziert, von daher ist es unwahrscheinlich, daß sie Gegen-Strategien haben. Ausserdem will das Publikum am Fernsehen glückliche Gewinner sehen - die paar tausend Euro Preis machen die Produktionskosten der Show auch nicht mehr fetter.

Gruesse,

Bio

[Stefan Bach]

Hallo,

Wenn Wim den Wechsel nicht anbietet, ist das Problem eh' sinn- und witzlos,

es ist die Situation gegeben (Ausgangsposting), dass Wim Dir "gerade" den Wechsel anbietet. Du weisst aber nicht, ob Wim "lieb", "boese", "gerecht", oder was auch immmer, ist.

Nicht, wenn Wim "boese" oder "lieb" ist, nur wenn er "gerecht" ist.

Das ficht die mathematische Behandelbarkeit aber auch nicht an.

Ich denke mal, Lude will darauf hinaus, dass dir der Moderator jetzt das Wechseln anbietet. Mathematisch gesehen hättest du eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 das Auto zu gewinnen, wenn du wechselst.

Du weißt aber eines nicht: Hätte er dir das Wechseln auch dann angeboen, wenn du ein anderes Tor genommen hättest?

Wir wissen ja nicht, was der Moderator denkt. Aber angenommen sein Sender muss Geld sparen, dann kann es ja sein, dass er sein komplettes Wechselspielchen nur dann abzieht, wenn du vorher zufällig auf dem Gewinn gelandet bist. Und dann hättest du durch einen Wechsel alle Gewinnchance verloren.

Es kann also durchaus sein, dass noch weitere Rahmenbedingungen existieren, die die Wahrscheinlichkeit ändern würden. Für den Mitspieler der vor den Toren steht sind diese weiteren Informationen allerdings nicht zugänglich. Und deshalb kann der Moderator ihm die Hoffnung auf eine größere Chance machen und ihn dadurch hineinlegen.

Viele Grüße,

Stefan

[Bio]

Sup!

Gut - wenn der Moderator "böse" ist, dann darf man nie wechseln, weil man sonst sicher verliert.
Der Moderator kann aber so nicht spielen, weil dann die Leute, die wechselten, immer verlören, und sich schnell herausstellen würde, daß der Wechsel nur angeboten wird, wenn man gewonnen hätte.

Gruesse,

Bio

[Utz]

Hallo,

also ich wollt's ja partout auch nicht glauben, dass beim Wechsel die Chance auf 2/3 steigt. Aber Empirie rules, und wozu haben wir alle einen Computer vor der Nase? Also hab ich auf die Schnelle eine JavaScript-Simulation unter den gegeben Regeln geschrieben (Übrigens fiel mir dann beim Verfassen des "Algorithmus" [Anführungszeichen sind Absicht!] für den Wechsel auf, warum die Wahrscheinlichkeit auf 2/3 steigt). Ergebnis: bleibe ich bei meiner ersten Wahl, gewinne ich immer etwa 1/3 Auto, wechsle ich, gewinne ich immer etwa 2/3 Auto. Wer's selber mal probieren mag, hier ist das Skript inkl. HTML-Teil (wer's mit nem anderen Browser als Mozilla probier, möge mögliche Fehler selber korrigieren):

<html>
<head>
<title>Ziegendilemma Simulation</title>
<script type="text/javascript">
function getOneTwoThree()
  {
  iRndNumber = 0;
  while (iRndNumber==0)
    {
    iRndNumber = (Math.random())*100;
    iRndNumber = parseInt(iRndNumber);
    }
  if (iRndNumber<34) iResultNumber = 1;
  else if (iRndNumber<67) iResultNumber = 2;
  else iResultNumber = 3;
  return iResultNumber;
  }

function getSecondChoice(iGateNumber, iFirstChoice)
  {
  if (iGateNumber==1)
    {
    if (iFirstChoice==1) iSecondChoice = 3;
    else if (iFirstChoice==2) iSecondChoice = 1;
    else iSecondChoice = 1;
    }
  else if (iGateNumber==2)
    {
    if (iFirstChoice==1) iSecondChoice = 2;
    else if (iFirstChoice==2) iSecondChoice = 1;
    else iSecondChoice = 2;
    }
  else
    {
    if (iFirstChoice==1) iSecondChoice = 3;
    else if (iFirstChoice==2) iSecondChoice = 3;
    else iSecondChoice = 2;
    }
  return iSecondChoice;
  }

function startSimulation()
  {
  iCarsWon = 0;
  sIterations = document.formular.iterationen.value;
  iIterations = parseInt(sIterations);
  for(i = 1; i <= iIterations; i++)
    {
    iGateNumber = 0;
    iFirstChoice = 0;
    // Hinter dem Tor ist das Auto
    iGateNumber = getOneTwoThree();
    // Erste Wahl des Kandidaten
    iFirstChoice = getOneTwoThree();
    // Wim öffnet ein Tor, zweite Wahl des Kandidaten
    iSecondChoice = getSecondChoice(iGateNumber, iFirstChoice);
    if (document.formular.art[0].checked)
      {
      if (iGateNumber==iFirstChoice) iCarsWon++;
      }
    if (document.formular.art[1].checked)
      {
      if (iGateNumber==iSecondChoice) iCarsWon++;
      }
    }
  document.formular.ausgabe.value = iCarsWon;
  }
</script>
</head>
<body>
<form action="#" method="post" name="formular" onsubmit="startSimulation(); return false;">
Zu spielende Durchläufe: <input type="text" name="iterationen" value="1000"><br>
<input type="radio" name="art" value="bleiben" checked> Bei der ersten Wahl bleiben
<input type="radio" name="art" value="wechseln"> Wechseln<br>
Gewonnene Autos: <input type="text" name="ausgabe" value=""><br>
<input type="submit" value="Simulation starten">
</form>
</body>
</html>

Grüße,

Utz

[Utz]

Hallo,

*grumel* bin zu doof zum Klicken...wollte beim vorigen Posting schon das Thema ändern, und außerdem sollte es ne Antwort auf das OP sein...na ja, ich üb dann noch n bisschen...

Grüße,

Utz